Davi e Luan gostam de brincar escrevendo funções contínuas em um intervalo [a, b] e calculam a integral definida:
integrala^b f(x) d x
Davi escolheu a função sin (x) e Luan escolheu a função cos (x), ambas no mesmo intervalo [0, pi2].
Se ID é a integral definida calculada por Davi e IL é a integral calculada por Luan, prove que:
ID=IL

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos duas funções contínuas no intervalo [0, pi2]: f(x) = sin(x) escolhida pelo Davi e g(x) = cos(x) escolhida pelo Luan. Eles calcularam as integrais definidas dessas funções nesse intervalo, ou seja:
ID = integral0^pi2 sin(x) , dx
e
IL = integral0^pi2 cos(x) , dx
O objetivo aqui é provar que ID = IL. Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais definidas e usar propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida de sin(x) no intervalo [0, pi2]. Sabemos que a integral de sin(x) em relação a x é -cos(x). Então:
ID = integral0^pi2 sin(x) , dx = [-cos(x)]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0)
Sabemos que cos(pi2) = 0 e cos(0) = 1, então:
ID = -0 + 1 = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida de cos(x) no mesmo intervalo [0, pi2]. A integral de cos(x) em relação a x é sin(x). Então:
IL = integral0^pi2 cos(x) , dx = [sin(x)]0^pi2 = sin(pi2) - sin(0)
Sabemos que sin(pi2) = 1 e sin(0) = 0, então:
IL = 1 - 0 = 1

Resposta

Portanto, mostramos que ID = IL = 1, ou seja, as integrais definidas de sin(x) e cos(x) no intervalo [0, pi2] são iguais.

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