Em cada item, classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando em cada caso.
Se A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) é tal que o sistema A X=0 tem apenas a solução trivial, então o sistema A X=b é consistente para cada b \in M_{n \times 1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n tal que o sistema homogêneo
A\,X = 0
possui apenas a solução trivial X=0. Isso significa, pelo Teorema Fundamental da Álgebra Linear, que \rank(A)=n, ou seja, A é invertível.

Passo 2

Como A é invertível, existe A^{-1}. Para qualquer vetor coluna b\in\mathbb{R}^n, define-se
X = A^{-1}b.
Então
A\,X = A\,(A^{-1}b) = (A\,A^{-1})\,b = I_n\,b = b,
logo o sistema A\,X=b tem sempre (e exatamente) uma solução. Assim, é consistente para todo b.

Resposta

Verdadeira.

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