(U.F. Santa Maria - RS) Dado o sistema de equações lineares \left\{\begin{aligned} x+y+z & =\beta \\\ x-y+\alpha z & =1 \\\ x-y-z & =-1\end{aligned}\right. \operatorname{com} \alpha, \beta \in \mathbb{R}, classifique em verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) as alternativas abaixo.
( ) se \alpha \neq-1, o sistema é possível e determinado.
( ) se \alpha=-1 e \beta \neq 1, o sistema é possível e determinado.
( ) se \alpha \neq-1, o sistema é impossível.
( ) se \alpha \neq-1 e \beta=1, o sistema é possível e indeterminado.
( ) se \alpha=-1 e \beta=1, o sistema é possível e determinado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = \beta,\\\ x - y + \alpha z = 1,\\\ x - y - z = -1, \end{cases}
com parâmetros \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Conteúdo: classificação de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência quando o determinante é zero.
Se \alpha\neq -1, então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para todo \beta.
Isto torna verdadeira apenas a afirmativa “se \alpha\neq -1, o sistema é possível e determinado” e falsas as que dizem que nesse caso é impossível ou indeterminado.
Passo 4
Se \alpha=-1, então \det(A)=0 e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Substituindo \alpha=-1 nas segunda e terceira equações, obtemos
x - y - z = 1 \quad\text{e}\quad x - y - z = -1,
que são contraditórias (não há (x,y,z) que satisfaça ambas). Logo, para \alpha=-1 o sistema é impossível para qualquer \beta, e todas as alternativas que dizem “possível e determinado” ou “possível e indeterminado” nessa situação são falsas.