(U.F. Santa Maria - RS) Dado o sistema de equações lineares \left\{\begin{aligned} x+y+z & =\beta \\\ x-y+\alpha z & =1 \\\ x-y-z & =-1\end{aligned}\right. \operatorname{com} \alpha, \beta \in \mathbb{R}, classifique em verdadeiro ( V ) ou falso ( F ) as alternativas abaixo.
( ) se \alpha \neq-1, o sistema é possível e determinado.
( ) se \alpha=-1 e \beta \neq 1, o sistema é possível e determinado.
( ) se \alpha \neq-1, o sistema é impossível.
( ) se \alpha \neq-1 e \beta=1, o sistema é possível e indeterminado.
( ) se \alpha=-1 e \beta=1, o sistema é possível e determinado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + y + z = \beta,\\\ x - y + \alpha z = 1,\\\ x - y - z = -1, \end{cases}
com parâmetros \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Conteúdo: classificação de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência quando o determinante é zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & \alpha\\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & \alpha\\\ -1 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & \alpha\\\ 1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Os determinantes menores são
\det\begin{pmatrix}-1 & \alpha\\\ -1 & -1\end{pmatrix} =(-1)(-1)-\alpha(-1)=1+\alpha,
\det\begin{pmatrix}1 & \alpha\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-\alpha\cdot1=-1-\alpha,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-(-1)\cdot1=0.
Logo
\det(A)=(1+\alpha)-(-1-\alpha)+0=2(\alpha+1).

Passo 3

Se \alpha\neq -1, então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para todo \beta.
Isto torna verdadeira apenas a afirmativa “se \alpha\neq -1, o sistema é possível e determinado” e falsas as que dizem que nesse caso é impossível ou indeterminado.

Passo 4

Se \alpha=-1, então \det(A)=0 e o sistema pode ser ou indeterminado ou impossível. Substituindo \alpha=-1 nas segunda e terceira equações, obtemos
x - y - z = 1 \quad\text{e}\quad x - y - z = -1,
que são contraditórias (não há (x,y,z) que satisfaça ambas). Logo, para \alpha=-1 o sistema é impossível para qualquer \beta, e todas as alternativas que dizem “possível e determinado” ou “possível e indeterminado” nessa situação são falsas.

Resposta

V
F
F
F
F

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