(1,5 pts) Sejam A=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 2 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -4 & 4\end{array}\right). Encontre uma matriz C tal que C A=B.

Passo 1

O enunciado dá
A=\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 2\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ -4 & 4 \end{pmatrix}
e pede uma matriz C tal que
C\,A = B.
Note que A é 3\times2 e B é 2\times2. Para o produto C\,A ser definido e resultar em 2\times2, C deve ser de dimensão 2\times3. Vamos atribuir incógnitas a C e resolver.

Passo 2

Seja
C = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3}\\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{pmatrix}.
Então
C\,A = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3}\\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ 2 & 2\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}+2x_{2}+x_{3} & -x_{1}+2x_{2}\\\ y_{1}+2y_{2}+y_{3} & -y_{1}+2y_{2} \end{pmatrix}.
Queremos igualar isto a B.

Passo 3

Igualando à primeira linha de B, obtemos o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=3,\\\\ -x_{1}+2x_{2}=1. \end{cases}
São duas equações em três incógnitas, logo há infinitas soluções. Vamos escolher um parâmetro livre.

Passo 4

Da segunda equação segue x_{1}=2x_{2}-1. Substituindo na primeira:
(2x_{2}-1)+2x_{2}+x_{3}=3 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{2}+x_{3}=4 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=4-4x_{2}.
Tomando x_{2}=0 como escolha conveniente, temos
x_{1}=-1,\quad x_{2}=0,\quad x_{3}=4.

Passo 5

Agora igualamos à segunda linha de B\), gerando \[\begin{cases} y_{1}+2y_{2}+y_{3}=-4,\\\\ -y_{1}+2y_{2}=4. \end{cases}
Da segunda equação y_{1}=2y_{2}-4\]. Substituindo na primeira: \[(2y_{2}-4)+2y_{2}+y_{3}=-4 \quad\Longrightarrow\quad 4y_{2}+y_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad y_{3}=-4y_{2}.\] Escolhendo \(y_{2}=0, obtemos
y_{1}=-4,\quad y_{2}=0,\quad y_{3}=0.

Passo 6

Reunindo os coeficientes escolhidos, uma solução particular para C é
C=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\\\ -4 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\\\ -4 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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