Discuta esses sistemas em função do parâmetro m.
\left\{\begin{aligned} x+z & =8 \\\ y+z & =10 \\\\ -m x+z & =8\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em três incógnitas x,y,z dependente de um parâmetro m. Queremos discutir para quais valores de m o sistema é compatível determinado (solução única), compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e analisar os casos.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -m & 0 & 1 \end{pmatrix}
Aplicando expansão de Laplace (ou regra de Sarrus) no primeiro linha,
\det(A) =1\cdot(1\cdot1 - 1\cdot0) -0 +1\cdot(0\cdot0 - (-m)\cdot1) =1 + m.

Passo 3

Se \det(A)\neq 0, isto é m\neq -1, a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Resolvendo por substituição:
da primeira equação vem
x + z = 8 \implies x = 8 - z,
da segunda
y + z = 10 \implies y = 10 - z.
Substituindo na terceira
-m(8 - z) + z = 8 \implies -8m + mz + z = 8 \implies (m+1)z = 8 + 8m \implies z = 8.
Logo
x = 8 - 8 = 0, \quad y = 10 - 8 = 2,
ou seja a solução é (x,y,z)=(0,2,8).

Passo 4

Se \det(A)=0, ou seja m=-1, a terceira equação fica
-(-1)x + z = 8 \implies x + z = 8,
que coincide com a primeira. Então temos só duas equações independentes para três incógnitas, sem contradição, e o sistema é compatível indeterminado. Tomando z = t\in\mathbb{R},
x = 8 - t, \quad y = 10 - t, \quad z = t,
dá todas as soluções.

Resposta

Para m\neq -1 o sistema é compatível determinado com solução única
(x,y,z) = (0,2,8).
Para m=-1 o sistema é compatível indeterminado e o conjunto de soluções é
\{(x,y,z) = (8-t,\,10-t,\,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

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