Em cada item considere a cônica de equação num sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) para o plano. Encontre a equação reduzida num novo sistema de coordenadas. Identifique a cônica e determine o(s) parâmetro(s) geométrico(s).
. Determine também o centro desta cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica de equação
e pede que a escrevamos em forma reduzida, isto é, num novo sistema de coordenadas adequadas. O conteúdo é translação de eixos e identificação de cônicas. Vamos precisar completar quadrados em
e em
, definir as novas variáveis de translação, achar a forma canônica, identificar a cônica e extrair seus parâmetros geométricos (centro, semieixos e excentricidade).
Passo 2
Reescrevemos agrupando termos em
e em
:
No termo em
, fatoramos
:
Agora completamos o quadrado em
:
Substituindo,
Logo,
Passo 3
Isolamos a soma dos quadrados e introduzimos as novas variáveis de translação:
Em
a equação fica
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
para obter a forma canônica:
Passo 5
Reconhecemos uma elipse. Os parâmetros geométricos são:
- Centro em
. - Semieixo maior
(porque ). - Semieixo menor
(porque ). - Excentricidade
- Distância focal
, com focos em .
Resposta
Equação reduzida em
:
Cônica: elipse de centro
, semieixos
,
, excentricidade
e focos em
.