Em cada item considere a cônica de equação num sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) para o plano. Encontre a equação reduzida num novo sistema de coordenadas. Identifique a cônica e determine o(s) parâmetro(s) geométrico(s).
4 x^2+(y-2)^2-32 x+28=0. Determine também o centro desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica de equação
4x^2 + (y-2)^2 - 32x + 28 = 0
e pede que a escrevamos em forma reduzida, isto é, num novo sistema de coordenadas adequadas. O conteúdo é translação de eixos e identificação de cônicas. Vamos precisar completar quadrados em x e em y, definir as novas variáveis de translação, achar a forma canônica, identificar a cônica e extrair seus parâmetros geométricos (centro, semieixos e excentricidade).

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y:
4x^2 - 32x + (y-2)^2 + 28 = 0
No termo em x, fatoramos 4:
4l(x^2 - 8xr) + (y-2)^2 + 28 = 0
Agora completamos o quadrado em x:
x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16
Substituindo,
4l[(x-4)^2 - 16r] + (y-2)^2 + 28 = 0 Longrightarrow 4(x-4)^2 - 64 + (y-2)^2 + 28 = 0
Logo,
4(x-4)^2 + (y-2)^2 - 36 = 0

Passo 3

Isolamos a soma dos quadrados e introduzimos as novas variáveis de translação:
u = x - 4, v = y - 2
Em (u,v) a equação fica
4u^2 + v^2 = 36

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 36 para obter a forma canônica:
4u^236 + v^236 = 1 Longrightarrow u^29 + v^236 = 1

Passo 5

Reconhecemos uma elipse. Os parâmetros geométricos são:
  • Centro em (x,y)=(4,2).
  • Semieixo maior a = 6 (porque v^2/36).
  • Semieixo menor b = 3 (porque u^2/9).
  • Excentricidade
e = raiz1 - b^2a^2 = raiz1 - 936 = raiz2736 = raiz276 = 3raiz36 = raiz32
  • Distância focal c = ae = 6cdotraiz32 = 3raiz3, com focos em l(4,,2pm3raiz3r).

Resposta

Equação reduzida em (u,v):
u^29 + v^236 = 1, u = x-4,;v = y-2
Cônica: elipse de centro (4,2), semieixos a=6, b=3, excentricidade e=tfracraiz32 e focos em l(4,2pm3raiz3r).

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