Considere a esfera de equação S: x^2+(y-3)^2+(z-1)^2+4 x-21=0.
a) (0,5) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) (1,0) Mostre que esta esfera S e o plano pi: x+2 y-2 z+7=0 são secantes. E determine o raio da circunferência dada pela S cap pi.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
S: x^2+(y-3)^2+(z-1)^2+4x-21=0
e pede em (a) o centro e o raio, e em (b) mostrar que ela é secante ao plano
pi: x+2y-2z+7=0
e determinar o raio da circunferência de interseção. Vamos usar completamento de quadrado para achar centro e raio, depois a fórmula da distância de um ponto ao plano e, finalmente, a relação entre raio da esfera, distância e raio da circunferência de corte.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x, y e z. Escrevemos
x^2+4x = (x+2)^2-4, (y-3)^2 = (y-3)^2, (z-1)^2 = (z-1)^2
Logo a equação fica
(x+2)^2-4 + (y-3)^2 + (z-1)^2 -21 = 0 Longrightarrow (x+2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 -25 = 0
Dessa forma o centro é
C = (-2,,3,,1)
e o raio satisfaz ,r^2=25, portanto
r = 5

Passo 3

Para ver se S e pi são secantes, calculamos a distância de C ao plano pi. A fórmula é
d = l|a x0+b y0+c z0+dr|raiza^2+b^2+c^2,
onde pi é a x+b y+c z+d=0 e (x0,y0,z0)=C. Aqui a=1, b=2, c=-2, d=7 e C=(-2,3,1), então
d = l|-2 + 2cdot 3 -2cdot1 +7r|raiz1^2+2^2+(-2)^2 = |, -2+6-2+7,|raiz1+4+4 = 93 = 3
Como d=3<r=5, o plano corta a esfera (são secantes).

Passo 4

Quando um plano corta uma esfera, a interseção é uma circunferência de raio
rcirc = raizr^2 - d^2 = raiz5^2 - 3^2 = raiz25 - 9 = raiz16 = 4

Resposta

a) O centro é C=(-2,3,1) e o raio é 5.
b) A distância do centro ao plano é 3<5, logo são secantes, e o raio da circunferência de Scap pi é 4.

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