Considere a esfera de equação .
a) Determine o centro e o raio desta esfera.
b) Mostre que esta esfera e o plano são secantes. E determine o raio da circunferência dada pela .
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e pede em (a) o centro e o raio, e em (b) mostrar que ela é secante ao plano
e determinar o raio da circunferência de interseção. Vamos usar completamento de quadrado para achar centro e raio, depois a fórmula da distância de um ponto ao plano e, finalmente, a relação entre raio da esfera, distância e raio da circunferência de corte.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em , e . Escrevemos
Logo a equação fica
Dessa forma o centro é
e o raio satisfaz , portanto
Passo 3
Para ver se e são secantes, calculamos a distância de ao plano . A fórmula é
onde pi é a x+b y+c z+d=0 e (x0,y0,z0)=C. Aqui a=1, b=2, c=-2, d=7 e C=(-2,3,1), então