Em cada item considere a cônica de equação num sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) para o plano. Encontre a equação reduzida num novo sistema de coordenadas. Identifique a cônica e determine o(s) parâmetro(s) geométrico(s).
. Encontre as coordenadas do(s) vértice(s) e do(s) foco(s) (se possuir) no sistema final. E faça um esboço para esta.
Passo 1
O enunciado pede para reduzir a cônica
por rotação de eixos, identificar a cônica, obter os parâmetros geométricos (a, b, c), achar vértices e focos no sistema original e esboçar. O conteúdo aqui é rotação de eixos para eliminar o termo
, seguida de comparação com as formas canônicas de cônicas.
Passo 2
Para eliminar o termo misto usamos uma rotação de eixos de ângulo
tal que
onde
,
,
. Logo
Passo 3
Nas novas coordenadas
com
temos
,
. Os coeficientes se transformam em
e o termo constante permanece
.
Passo 4
A equação em
é
Trata-se de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos
, de centro na origem, cuja forma canônica é
com
,
. O parâmetro focal é
.
Passo 5
No sistema
os vértices são
e os focos são
. Para voltar a
usamos
Passo 6
Aplicando nos vértices
Nos focos (\bigl(0,\pm\sqrt2\bigr)]:
Passo 7
Esboço: a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverse ao longo de
), centrada em
, com vértices em
e
. As assíntotas em
são
, que em
se traduzem em
.
Resposta
Equação reduzida:
Hipérbole com
Vértices no sistema original:
Focos no sistema original:
Esboço: ramos abertos para cima e para baixo, assíntotas
.