Em cada item considere a cônica de equação num sistema de coordenadas cartesiano (ortogonal) para o plano. Encontre a equação reduzida num novo sistema de coordenadas. Identifique a cônica e determine o(s) parâmetro(s) geométrico(s).
-x^2+2 raiz3 x y+y^2-2=0. Encontre as coordenadas do(s) vértice(s) e do(s) foco(s) (se possuir) no sistema final. E faça um esboço para esta.

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a cônica
-,x^2+2raiz3,x,y+y^2-2=0
por rotação de eixos, identificar a cônica, obter os parâmetros geométricos (a, b, c), achar vértices e focos no sistema original e esboçar. O conteúdo aqui é rotação de eixos para eliminar o termo xy, seguida de comparação com as formas canônicas de cônicas.

Passo 2

Para eliminar o termo misto usamos uma rotação de eixos de ângulo varphi tal que
tan(2varphi)=BA-C
onde A=-1, B=2raiz3, C=1. Logo
tan(2varphi)=2raiz3-1-1=-raiz3 Longrightarrow 2varphi=-pi3 Longrightarrow varphi=-pi6

Passo 3

Nas novas coordenadas (X,Y) com
x = Xcosvarphi - Ysinvarphi, y = Xsinvarphi + Ycosvarphi,
temos cosvarphi=tfracraiz32, sinvarphi=-tfrac12. Os coeficientes se transformam em
A' = Acos^2varphi + Bcosvarphisinvarphi + Csin^2varphi = -2,
C' = Asin^2varphi - Bcosvarphisinvarphi + Ccos^2varphi = 2,
e o termo constante permanece -2.

Passo 4

A equação em (X,Y) é
-2,X^2 + 2,Y^2 - 2 = 0 Long<=ftrightarrow -,X^2 + Y^2 = 1 Long<=ftrightarrow Y^21 - X^21 = 1
Trata-se de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos X,Y, de centro na origem, cuja forma canônica é
Y^2a^2 - X^2b^2 = 1
com a^2=1, b^2=1. O parâmetro focal é c=raiza^2+b^2=raiz2.

Passo 5

No sistema (X,Y) os vértices são (0,pm a)=(0,pm1) e os focos são (0,pm c)=(0,pmraiz2). Para voltar a (x,y) usamos
x = Xcosvarphi - Ysinvarphi, y = Xsinvarphi + Ycosvarphi

Passo 6

Aplicando nos vértices
Nos focos (\bigl(0,\pm\sqrt2\bigr)]:

Passo 7

Esboço: a hipérbole abre para cima e para baixo (eixo transverse ao longo de Y), centrada em (0,0), com vértices em l(tfrac12,tfracraiz32r) e l(-tfrac12,-tfracraiz32r). As assíntotas em (X,Y) são Y=pm X, que em (x,y) se traduzem em y=pm x.

Resposta

Equação reduzida:
Y^21 - X^21 = 1
Hipérbole com
a=1, b=1, c=raiz2
Vértices no sistema original:
l(tfrac12,tfracraiz32r), l(-tfrac12,-tfracraiz32r)
Focos no sistema original:
l(tfracraiz22,tfracraiz62r), l(-tfracraiz22,-tfracraiz62r)
Esboço: ramos abertos para cima e para baixo, assíntotas y=pm x.

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