Questão 0.3. Sabendo-se que u=(2 ;-1 ; 4) e v=(x ; 2 ; 1), determine os possíveis valores de x para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja raiz101. (VALOR=3.0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço: u = (2, -1, 4) e v = (x, 2, 1). A questão pede pra gente encontrar os valores de x que fazem com que a área do paralelogramo formado por esses vetores seja raiz101. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a área de um paralelogramo no espaço usando o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área do paralelogramo formado por dois vetores é igual ao módulo (ou tamanho) do produto vetorial desses vetores. Então, vamos calcular o produto vetorial u times v.
Os vetores são:
u = (2, -1, 4) e v = (x, 2, 1)
O produto vetorial u times v é dado por:
u times v = i & j & k 2 & -1 & 4 x & 2 & 1
Calculando o determinante:
u times v = ( (-1)(1) - (4)(2) )i - ( (2)(1) - (4)(x) )j + ( (2)(2) - (-1)(x) )k
u times v = (-1 - 8)i - (2 - 4x)j + (4 + x)k
u times v = (-9, 4x - 2, 4 + x)

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o módulo dele para encontrar a área do paralelogramo:
|u times v| = raiz(-9)^2 + (4x - 2)^2 + (4 + x)^2
|u times v| = raiz81 + (16x^2 - 16x + 4) + (x^2 + 8x + 16)
|u times v| = raiz81 + 16x^2 - 16x + 4 + x^2 + 8x + 16
|u times v| = raiz17x^2 - 8x + 101
Sabemos que a área deve ser igual a raiz101, então:
raiz17x^2 - 8x + 101 = raiz101

Passo 4

Vamos resolver a equação:
raiz17x^2 - 8x + 101 = raiz101
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
17x^2 - 8x + 101 = 101
Subtraindo 101 de ambos os lados:
17x^2 - 8x = 0
Fatorando:
x(17x - 8) = 0
Assim, as soluções são:
x = 0 ou 17x - 8 = 0 Rightarrow x = 817

Resposta

Os possíveis valores de x são 0 e 817.

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