Em cada item, para a curva dada, determine: (i) os pontos inicial e final e se a curva é fechada, (ii) e e (iii) se o ponto pertence à curva.
(a) .
(b) .

Passo 1

O enunciado pede, para cada curva r(t) em um intervalo [a,b]:
(i) os pontos inicial r(a) e final r(b) e se r(a)=r(b) (curva fechada);
(ii) a derivada r'(t), a velocidade |r'(t)|, e os valores em t=0;
(iii) verificar se o ponto P=(-1,0,2) pertence à imagem da curva, resolvendo r(t)=P.

Passo 2

Para (a) , :
(i)
Como , a curva é fechada.

Passo 3

Para (a), parte (ii):

Passo 4

Para (a), parte (iii): verificar (cos t,sen t,cos5t)=(-1,0,2).
Da primeira coordenada cos t=-1implies t=pi. Nesse t, sen t=0 coincide, mas cos(5pi)=cospi=-1neq2.
Logo P não pertence à curva.

Passo 5

Para (b) r(t)=(2t-3,;t^2-1,;t+1), tin[-3,3]:
(i)
r(-3)=(2(-3)-3,;9-1,;-3+1)=(-9,8,-2),
r(3)=(6-3,;9-1,;3+1)=(3,8,4)
Como r(-3)neqr(3), a curva não é fechada.

Passo 6

Para (b), parte (ii):
r'(t)=(2,,2t,,1),
|r'(t)|=raiz2^2+(2t)^2+1^2 =raiz5+4t^2,
r'(0)=(2,0,1), |r'(0)|=raiz5

Passo 7

Para (b), parte (iii): resolver (2t-3,;t^2-1,;t+1)=(-1,0,2).
Da primeira coordenada 2t-3=-1implies t=1. Verifica-se 1^2-1=0 e 1+1=2, e t=1in[-3,3].
Logo P pertence à curva em t=1.

Resposta

(a)(i) r(0)=(1,0,1), r(2pi)=(1,0,1); curva fechada.
(a)(ii) r'(t)=(-sen t,cos t,-5sen(5t)), |r'(t)|=raiz1+25,sen^2(5t);
r'(0)=(0,1,0), |r'(0)|=1.
(a)(iii) P não pertence à curva.
(b)(i) r(-3)=(-9,8,-2), r(3)=(3,8,4); curva não fechada.
(b)(ii) r'(t)=(2,2t,1), |r'(t)|=raiz5+4t^2;
r'(0)=(2,0,1), |r'(0)|=raiz5.
(b)(iii) P pertence à curva (em t=1).

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