Determine o domínio, a imagem e o esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções:
G(x)=x+lfloor xrfloor

Passo 1

O enunciado pede domínio, imagem e esboço do gráfico da função G(x)=x+lfloor xrfloor. O conteúdo envolve a função piso, definição em partes (piecewise) e análise de imagem e salto no gráfico.

Passo 2

A função piso lfloor xrfloor está definida para todo real x, logo
Domínio(G)=R í

Passo 3

Para achar a imagem, note que, se ninZ e xin[n,n+1), então
lfloor xrfloor=n Longrightarrow G(x)=x+n
Nesse intervalo xin[n,n+1) temos
G(x)in[,n+n,;n+1+n,)=[,2n,;2n+1,)
Como isso vale para todo inteiro n, a imagem é
Im(G)=cupninZ[,2n,;2n+1,)

Passo 4

Cada trecho xin[n,n+1) dá a reta
y=x+n,
com coeficiente angular 1. Nos pontos x=n há salto de valor:
limite pela esquerda:
limxto n^-G(x)=2n-1,
valor em n:
G(n)=n+n=2n
Logo no gráfico, em cada x=n temos ponto cheio em (n,2n) e ponto aberto em (n,2n-1). Repetindo para todo n, obtemos segmentos de reta de comprimento 1 e salto de 1 em cada inteiro.

Resposta

Domínio: R
Imagem: cupninZ[,2n,;2n+1,)
Gráfico: segmentos de reta de equação y=x+n em cada xin[n,n+1), com salto de 2n-1 para 2n em x=n.

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