Em cada item, descreva o conjunto solução das (dos sistemas de) inequações na forma de união de intervalos.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação: $ x^{2} - 6x + 5 \leq 0 $. Aqui, estamos lidando com uma inequação quadrática, que envolve encontrar os valores de $ x $ onde o polinômio é menor ou igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação quadrática e analisar os intervalos formados por essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação associada $ x^{2} - 6x + 5 = 0 $. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara, que nos dá as raízes de uma equação quadrática da forma $ ax^{2} + bx + c = 0 $:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -6 $ e $ c = 5 $. Vamos calcular o discriminante $ \Delta = b^{2} - 4ac $:
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais distintas.
Passo 3
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as raízes são $ x = 1 $ e $ x = 5 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, vamos analisar os intervalos que elas criam na reta numérica: $ (-\infty, 1) $, $ (1, 5) $ e $ (5, +\infty) $. Queremos saber em quais desses intervalos a expressão $ x^{2} - 6x + 5 $ é menor ou igual a zero.
Passo 5
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na expressão para verificar o sinal:
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Intervalo $ (-\infty, 1) $: Vamos pegar $ x = 0 $.Então, nesse intervalo, a expressão é positiva.
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Intervalo $ (1, 5) $: Vamos pegar $ x = 3 $.Aqui, a expressão é negativa.
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Intervalo $ (5, +\infty) $: Vamos pegar $ x = 6 $.Nesse intervalo, a expressão é positiva.
Passo 6
Como queremos onde $ x^{2} - 6x + 5 \leq 0 $, ou seja, onde a expressão é menor ou igual a zero, olhamos para os intervalos onde ela é negativa ou igual a zero. Observamos que isso acontece no intervalo $ [1, 5] $, incluindo as raízes.
Resposta
O conjunto solução é $ [1, 5] $.