Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
y{\prime}=e{2 x}+y-1

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' = e^2x + y - 1
e pede um fator integrante que torne a equação exata e, em seguida, a sua solução. Trata-se de uma EDO de 1.º ordem, que podemos reescrever em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
para procurar um fator integrante.

Passo 2

Escrevendo y' = tfracdydx, temos
dydx - y = e^2x - 1 ;;Longrightarrow;; dy - y,dx - (e^2x-1),dx = 0
Logo
M(x,y) = -e^2x + 1 - y, N(x,y) = 1
Verificamos
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = 0,
logo a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu(x) em função apenas de x, usamos
mu(x) = exp!l(integral My - NxN,dxr) = exp!l(integral -1 - 01,dxr) = e^-x

Passo 4

Multiplicando a equação diferencial por mu(x)=e^-x obtemos
l(-e^2x+1 -yr)e^-x,dx + e^-x,dy = 0 ;Longrightarrow; underbracel(-e^x+e^-x-y,e^-xr)M1,dx + underbracee^-xN1,dy = 0
Agora
partial M1/partial y = -e^-x e partial N1/partial x = -e^-x,
logo a equação é exata.

Passo 5

Por exatidão existe Psi(x,y) tal que
Psix = M1 e Psiy = N1.
Integramos em x:
Psi(x,y) = integrall(-e^x+e^-x-y,e^-xr),dx = -e^x - e^-x + y,e^-x + h(y)
Derivando em y e igualando a N1:
Psiy = e^-x + h'(y) stackrel!= e^-x ;Longrightarrow; h'(y)=0
Portanto a solução implícita é
Psi(x,y)=C ;Longrightarrow; -e^x-e^-x+y,e^-x=C
Multiplicando por e^x e isolando y,
y = e^2x + 1 + C,e^x

Resposta

O fator integrante é mu(x)=e^-x e a solução geral é
boxedy = e^2x + 1 + C,e^x

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