Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
y+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y + l(2xy - e^-2yr),y'=0
Isso pode ser vista como a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y, N(x,y)=2xy - e^-2y
Queremos encontrar um fator integrante mu que dependa de x ou de y só, tornando a equação exata.

Passo 2

Calculemos os parciais
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 2y
Para testar mu(x) usaríamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =1-2y2xy - e^-2y,
que não depende só de x. Para mu(y) usamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM =2y-1y =2 - 1y,
que depende apenas de y. Logo existe um fator integrante mu=mu(y).

Passo 3

A equação para mu(y) é
mu'(y)mu(y) = 2 - 1y
Integramos:
lnmu = integrall(2 - 1yr),dy =2y - lnlvert yrvert + C Longrightarrow mu(y)=e^2yy

Passo 4

Multiplicando a EDO original por mu(y) obtemos
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0
com
M^* = mu,M = e^2y, N^* = mu,N = 2x,e^2y - 1y
Verifica-se que
partial M^*/partial y = 2e^2y
e
partial N^*/partial x = 2e^2y,
logo a forma é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial U(x,y) tal que
partial Upartial x = M^* = e^2y
Integrando em x:
U(x,y) = x,e^2y + h(y)
Depois exigimos
partial Upartial y = 2x,e^2y + h'(y) stackrel!= N^* = 2x,e^2y - 1y,
daí h'(y)=-1/y e
h(y) = -lnlvert yrvert
Portanto
U(x,y) = x,e^2y - lnlvert yrvert

Resposta

A solução geral vem de
U(x,y)=C Longrightarrow x,e^2y - lnlvert yrvert = C

Exercícios relacionados