Encontre um fator integrante que torne a EDO exata e depois encontre a solução.
y+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) y^{\prime}=0
y+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) y^{\prime}=0
Passo 1
O enunciado dá a EDO
Isso pode ser vista como a forma diferencial
com
Queremos encontrar um fator integrante
que dependa de
ou de
só, tornando a equação exata.
Passo 2
Calculemos os parciais
Para testar
usaríamos
que não depende só de
. Para
usamos
que depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 3
A equação para
é
Integramos:
Passo 4
Multiplicando a EDO original por
obtemos
com
Verifica-se que
e
,
logo a forma é exata.
e
logo a forma é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
Depois exigimos
daí
e
Portanto
Resposta
A solução geral vem de