Em cada item, desenhe a transformação de variável indicando domínio, imagem e transformação inversa. Além disso, calcule o jacobiano.
u=x^2, com 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação de variável u = x^2 aplicada ao intervalo 0 <= x <= 2. Precisamos determinar o domínio de x, a imagem no eixo u, a transformação inversa x(u) e calcular o jacobiano dessa mudança de variável. O tema aqui é mudança de variável unidimensional, ou seja, como um ponto x em um intervalo é mapeado num ponto u em outro intervalo e como o diferencial se ajusta.

Passo 2

O domínio de x é dado por
0 <= x <= 2
Para encontrar a imagem, avaliamos u = x^2 nas extremidades:
quando x=0, u=0^2=0;
quando x=2, u=2^2=4.
Além disso, em [0,2] a função xmapsto x^2 é estritamente crescente, logo a imagem é
0 <= u <= 4

Passo 3

Para achar a inversa, resolvemos u = x^2 em função de x, lembrando que x>=0:
x = raizu
Portanto, a transformação inversa é
x(u) = raizu, 0 <= u <= 4

Passo 4

O jacobiano dessa transformação é a derivada de u em relação a x. Calculamos:
dudx = 2x
Em muitas aplicações de integração precisamos do fator l|dx/dur|, que é a recíproca:
dxdu = 12raizu

Resposta

Domínio em x: [0,2]
Imagem em u: [0,4]
Transformação inversa: x = raizu, para 0 <= u <= 4
Jacobiano da transformação: dudx = 2x (e, para uso em integrais, dxdu = 12raizu)

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