Em cada item, desenhe a transformação de variável indicando domínio, imagem e transformação inversa. Além disso, calcule o jacobiano. , com .
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação de variável aplicada ao intervalo . Precisamos determinar o domínio de , a imagem no eixo , a transformação inversa e calcular o jacobiano dessa mudança de variável. O tema aqui é mudança de variável unidimensional, ou seja, como um ponto em um intervalo é mapeado num ponto em outro intervalo e como o diferencial se ajusta.
Passo 2
O domínio de é dado por
Para encontrar a imagem, avaliamos nas extremidades:
quando , ;
quando , .
Além disso, em a função é estritamente crescente, logo a imagem é
Passo 3
Para achar a inversa, resolvemos em função de , lembrando que :
Portanto, a transformação inversa é
Passo 4
O jacobiano dessa transformação é a derivada de em relação a . Calculamos:
Em muitas aplicações de integração precisamos do fator , que é a recíproca:
dxdu = 12raizu
Resposta
Domínio em x: [0,2]
Imagem em u: [0,4]
Transformação inversa: x = raizu, para 0 <= u <= 4
Jacobiano da transformação: dudx = 2x (e, para uso em integrais, dxdu = 12raizu)