Questão 15. Calcule os seguintes limites (envolvendo o número irracional e cong 2 , 7 1 8 2 ):
lim h 0 3^x+h-3^xh

Passo 1

O enunciado pede o limite
limhto03^x+h-3^xh,
que nada mais é do que a definição de derivada da função f(x)=3^x. Para resolver, vamos usar propriedades de exponenciais e o limite fundamental
limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Começamos fatorando 3^x no numerador:
limhto03^x+h-3^xh = limhto03^xl(3^h-1r)h = 3^x ;limhto03^h-1h

Passo 3

Escrevemos 3^h em termos de e:
3^h = e^hln3
Logo,
limhto03^h-1h = limhto0e^hln3-1h = limhto0e^hln3-1hln3,ln3 = 1cdotln3 = ln3

Passo 4

Substituindo de volta em

Passo 5

limhto03^x+h-3^xh = 3^xcdotln3

Resposta

ln(3),3^x

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