Em cada item, descreva a região em todas as seis possíveis ordens de variações dos parâmetros.
Região delimitada pelas superfícies y=4-x^2-4 z^2 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a região delimitada por y=0 e y=4 - x^2 - 4z^2 em todas as seis ordens de integração possíveis. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais triplas, e vamos precisar projetar a região nos planos xz, xy e yz.

Passo 2

Para a ordem dy,dx,dz:
z varia em [-1,1] pois da projeção x^2/4+z^2<=1 temos z^2<=1.
Para cada z, x varia em [-2raiz1-z^2,;2raiz1-z^2].
Para cada (x,z), y varia em [0,;4 - x^2 - 4z^2].

Passo 3

Para a ordem dy,dz,dx:
x varia em [-2,2].
Para cada x, z varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - x^2},;\tfrac12\sqrt{4 - x^2}\right] pois precisa valer 4 - x^2 -4z^2>=0.
Para cada (x,z), y varia em [0,;4 - x^2 - 4z^2].

Passo 4

Para a ordem dx,dy,dz:
z varia em [-1,1].
Para cada z, y varia em [0,;4 - 4z^2] pois x^2>=0 y<=4 -4z^2.
Para cada (y,z), x varia em \left[-\sqrt{4 - 4z^2 - y},;\sqrt{4 - 4z^2 - y}\right].

Passo 5

Para a ordem dx,dz,dy:
y varia em [0,4].
Para cada y, z varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - y},;\tfrac12\sqrt{4 - y}\right] pois para algum x valer o interior deve ter 4 - y -4z^2>=0.
Para cada (y,z), x varia em \left[-\sqrt{4 - y - 4z^2},;\sqrt{4 - y - 4z^2}\right].

Passo 6

Para a ordem dz,dy,dx:
x varia em [-2,2].
Para cada x, y varia em [0,;4 - x^2].
Para cada (x,y), z varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - x^2 - y},;\tfrac12\sqrt{4 - x^2 - y}\right].

Passo 7

Para a ordem dz,dx,dy:
y varia em [0,4].
Para cada y, x varia em \left[-\sqrt{4 - y},;\sqrt{4 - y}\right].
Para cada (y,x), z varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - y - x^2},;\tfrac12\sqrt{4 - y - x^2}\right].

Resposta

A região foi descrita pelos seis sistemas de limites de integração acima para cada ordem de variação das variáveis.

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