Em cada item, descreva a região em todas as seis possíveis ordens de variações dos parâmetros.
Região delimitada pelas superfícies
e
.
Região delimitada pelas superfícies
Passo 1
O enunciado pede para descrever a região delimitada por
e
em todas as seis ordens de integração possíveis. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais triplas, e vamos precisar projetar a região nos planos
,
e
.
Passo 2
Para a ordem
:
varia em
pois da projeção
temos
.
Para cada ,
varia em
.
Para cada ,
varia em
.
Para cada
Para cada
Passo 3
Para a ordem
:
varia em
.
Para cada ,
varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - x^2},;\tfrac12\sqrt{4 - x^2}\right] pois precisa valer
.
Para cada ,
varia em
.
Para cada
Para cada
Passo 4
Para a ordem
:
varia em
.
Para cada ,
varia em
pois
dá
.
Para cada ,
varia em \left[-\sqrt{4 - 4z^2 - y},;\sqrt{4 - 4z^2 - y}\right].
Para cada
Para cada
Passo 5
Para a ordem
:
varia em
.
Para cada ,
varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - y},;\tfrac12\sqrt{4 - y}\right] pois para algum
valer o interior deve ter
.
Para cada ,
varia em \left[-\sqrt{4 - y - 4z^2},;\sqrt{4 - y - 4z^2}\right].
Para cada
Para cada
Passo 6
Para a ordem
:
varia em
.
Para cada ,
varia em
.
Para cada ,
varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - x^2 - y},;\tfrac12\sqrt{4 - x^2 - y}\right].
Para cada
Para cada
Passo 7
Para a ordem
:
varia em
.
Para cada ,
varia em \left[-\sqrt{4 - y},;\sqrt{4 - y}\right].
Para cada ,
varia em \left[-\tfrac12\sqrt{4 - y - x^2},;\tfrac12\sqrt{4 - y - x^2}\right].
Para cada
Para cada
Resposta
A região foi descrita pelos seis sistemas de limites de integração acima para cada ordem de variação das variáveis.