Mostre que a seguinte equação não é exata, verifique que é um fator integrante e então resolva a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para mostrar que a equação dada não é exata, verificar que mu(x, y) = 1x y^3 é um fator integrante e, por fim, resolver a EDO. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata, como encontrar um fator integrante e como resolver a equação depois de torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A equação dada é:
x^2 y^3 + x(1 + y^2) y' = 0
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
onde:
M(x, y) = x^2 y^3
N(x, y) = x(1 + y^2)
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 3x^2 y^2
partial Npartial x = 1 + y^2
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação não é exata, vamos usar o fator integrante mu(x, y) = 1x y^3 para torná-la exata. Multiplicamos toda a equação original por mu(x, y):
mu(x, y) cdot M(x, y) + mu(x, y) cdot N(x, y) y' = 0
Substituindo mu(x, y), M(x, y) e N(x, y):
1x y^3 cdot x^2 y^3 + 1x y^3 cdot x(1 + y^2) y' = 0
Simplificando:
x + 1 + y^2y^3 y' = 0
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata. Definimos:
M'(x, y) = x
N'(x, y) = 1 + y^2y^3
Calculamos as derivadas parciais:
partial M'partial y = 0
partial N'partial x = 0
Como partial M'partial y = partial N'partial x, a equação é agora exata.

Passo 4

Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial psi(x, y) tal que:
partial psipartial x = M'(x, y) = x
partial psipartial y = N'(x, y) = 1 + y^2y^3
Vamos integrar partial psipartial x em relação a x:
psi(x, y) = integral x , dx = 12x^2 + h(y)
Agora, derivamos psi(x, y) em relação a y e igualamos a partial psipartial y:
partial psipartial y = h'(y) = 1 + y^2y^3
Integrando em relação a y:
h(y) = integral 1 + y^2y^3 , dy = integral y^-3 + y^-1 , dy = -12y^-2 + ln|y| + C
Portanto, a função potencial é:
psi(x, y) = 12x^2 - 12y^-2 + ln|y| = C

Resposta

A solução geral da EDO é:
12x^2 - 12y^-2 + ln|y| = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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