Mostre que a seguinte equação não é exata, verifique que
é um fator integrante e então resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O exercício pede para mostrar que a equação dada não é exata, verificar que
é um fator integrante e, por fim, resolver a EDO. Para isso, vamos precisar entender o que torna uma equação exata, como encontrar um fator integrante e como resolver a equação depois de torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação não é exata, vamos usar o fator integrante
para torná-la exata. Multiplicamos toda a equação original por
:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata. Definimos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é agora exata.
Passo 4
Com a equação exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.