Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um conjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=(R^3,+, cdot), W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2=0

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V=(R^3,+,cdot) e o subconjunto
W=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2=0
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de V usando a definição que exige:
  1. o vetor zero 0 pertence a W;
  2. W é fechado sob soma;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para satisfazer x^2+y^2+z^2=0 em R é necessário que
x=0, y=0, z=0
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W=(0,0,0)

Passo 3

Agora aplicamos as três condições de subespaço a W=0:
  • O vetor zero 0=(0,0,0) claramente pertence a W.
  • Se u,vin W, então u=v=0 e u+v=0+0=0in W
  • Se lambdainR e uin W, então u=0 e lambda u=lambda0=0in W
Como todas as condições são satisfeitas, W é de fato um subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de V (é o subespaço trivial (0,0,0)).

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