Exercício 2. Supondo que o sistema de coordenadas
seja ortonormal, mostre que o triângulo
é retângulo, onde
,
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de coordenadas
que é ortonormal, ou seja, os eixos são perpendiculares e têm comprimento unitário. As coordenadas dos pontos
,
e
estão dadas como
,
e
. Precisamos mostrar que o triângulo
formado por esses pontos é retângulo. Para isso, vamos usar vetores e o produto escalar para verificar se dois lados do triângulo são perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular o vetor
, que vai do ponto
para o ponto
. Para isso, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor
, que vai do ponto
para o ponto
. Subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 4
Para verificar se o triângulo
é retângulo, vamos checar se os vetores
e
são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores
e
é calculado assim:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar de
e
:
Passo 6
Como o produto escalar de
e
é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares. Portanto, o ângulo entre
e
é de
, o que confirma que o triângulo
é retângulo no ponto
.
Resposta
O triângulo
é retângulo porque os vetores
e
são perpendiculares.