Exercício 2. Supondo que o sistema de coordenadas S seja ortonormal, mostre que o triângulo A B C é retângulo, onde [A]S=(1,0,1), [B]S=(-1,0,2) e [C]S=(1,1,1).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de coordenadas S que é ortonormal, ou seja, os eixos são perpendiculares e têm comprimento unitário. As coordenadas dos pontos A, B e C estão dadas como [A]S=(1,0,1), [B]S=(-1,0,2) e [C]S=(1,1,1). Precisamos mostrar que o triângulo ABC formado por esses pontos é retângulo. Para isso, vamos usar vetores e o produto escalar para verificar se dois lados do triângulo são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que representam os lados do triângulo. Vamos calcular o vetor AB, que vai do ponto A para o ponto B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (-1 - 1, 0 - 0, 2 - 1) = (-2, 0, 1)

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AC, que vai do ponto A para o ponto C. Subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de C:
AC = C - A = (1 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (0, 1, 0)

Passo 4

Para verificar se o triângulo ABC é retângulo, vamos checar se os vetores AB e AC são perpendiculares. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar de AB e AC:
AB cdot AC = (-2)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 6

Como o produto escalar de AB e AC é zero, isso significa que os vetores são perpendiculares. Portanto, o ângulo entre AB e AC é de 90^circ, o que confirma que o triângulo ABC é retângulo no ponto A.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo porque os vetores AB e AC são perpendiculares.

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