Determine as coordenadas do vértice da parábola cuja equação é:
2 x^2+4 x+3 y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas do vértice dessa parábola que está dada pela equação 2x^2 + 4x + 3y - 4 = 0. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas e como encontrar seu vértice a partir da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Nosso objetivo é isolar o y em função de x. Vamos reescrever a equação original:
2x^2 + 4x + 3y - 4 = 0
Subtraindo 2x^2 + 4x - 4 de ambos os lados:
3y = -2x^2 - 4x + 4
Agora, dividimos todos os termos por 3 para deixar o y isolado:
y = -23x^2 - 43x + 43

Passo 3

A equação agora está na forma y = ax^2 + bx + c, onde:
  • a = -23
  • b = -43
  • c = 43
Para encontrar o vértice de uma parábola nessa forma, usamos a fórmula do x do vértice:
xv = -b2a

Passo 4

Vamos calcular xv usando os valores de a e b:
xv = --432 times -23 = 43-43 = -1
Então, a coordenada x do vértice é -1.

Passo 5

Agora, para encontrar a coordenada y do vértice ( yv), substituímos xv na equação da parábola:
yv = -23(-1)^2 - 43(-1) + 43
Calculando passo a passo:
yv = -23(1) + 43 + 43 = -23 + 83 = 63 = 2

Resposta

O vértice da parábola está nas coordenadas (-1, 2).

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