Exercício 18. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2 nos seguintes casos:
π1: X=(1,1,1)+λ(0,1,1)+μ(-1,2,1)
π2: X=(1,0,0)+α(1,-1,0)+β(1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa dos planos
pi1:X=(1,1,1)+lambda(0,1,1)+mu(-1,2,1)
e
pi2:X=(1,0,0)+alpha(1,-1,0)+beta(1,1,2).
O conteúdo é geometria analítica no espaço: determinamos vetores normais a cada plano e comparamos para ver se são concorrentes, paralelos distintos ou coincidentes.

Passo 2

Para pi1 tomamos os vetores de direção
vec v1=(0,1,1) e vec w1=(-1,2,1).
O vetor normal é
vec n1=vec v1times vec w1 = i & j & k 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 =(-1,-1,1)

Passo 3

Para pi2 tomamos
vec a2=(1,-1,0) e vec b2=(1,1,2).
O vetor normal é
vec n2=vec a2times vec b2 = i & j & k 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 =(-2,-2,2)

Passo 4

Observamos que vec n2=2,vec n1, logo os planos são paralelos ou coincidentes.
Para decidir, obtemos a equação de pi1 lembrando que vec n1cdot(X-(1,1,1))=0, ou seja,
(-1,-1,1)cdot(x-1,y-1,z-1)=0 ;Longrightarrow; -x-y+z+1=0 ;Longrightarrow; x+y-z-1=0

Passo 5

Verificamos que o ponto P2=(1,0,0) de pi2 satisfaz
;1+0-0-1=0,
então P2inpi1. Além disso
vec n1cdotvec a2=0 e vec n1cdotvec b2=0,
portanto as direções de pi2 também estão em pi1. Concluímos que pi2subsetpi1.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 coincidem.

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