Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um conjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=(R^3,+, cdot), W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z <= 0

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = (R^3, +, cdot)
e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x+y+z <= 0,
e pede para verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o teste de subespaço vetorial: mostrar que (i) o vetor zero está em W, (ii) W é fechado sob soma e (iii) W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Calculamos
0 + 0 + 0 = 0 <= 0,
logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma. Sejam
u = (x1,y1,z1)in W, v=(x2,y2,z2)in W
Então
x1+y1+z1 <= 0 e x2+y2+z2 <= 0
Somando as desigualdades,
(x1+x2) + (y1+y2) + (z1+z2) <= 0,
ou seja, u+vin W. Portanto, W é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação escalar. Tome alpha=-1 e
u = (-1,0,0)in W,
pois -1+0+0 = -1 <= 0. Então
alpha u = (-1)cdot(-1,0,0) = (1,0,0),
e
1 + 0 + 0 = 1 not<= 0,
logo alpha u notin W. Falha o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V, pois não é fechado sob multiplicação escalar.

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