Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial V e um conjunto W de V. Verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=(R^3,+, cdot), W=(x, y, z) in R^3 ; x+y+z <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto W = (x, y, z) in R^3 ; | ; x + y + z <= 2 é um subespaço vetorial do espaço V = (R^3, +, cdot) . Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se W atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se:
  1. W não está vazio (ou seja, contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para W .

Passo 3

1. Verificar se W não está vazio:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Vamos ver se ele pertence a W :
0 + 0 + 0 = 0 <= 2
Então, (0, 0, 0) in W . A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Verificar se W é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W , digamos u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) , onde:
x1 + y1 + z1 <= 2 e x2 + y2 + z2 <= 2
Vamos somar esses vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
A soma das componentes será:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) <= 2 + 2 = 4
Para u + v pertencer a W , precisamos que:
(x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) <= 2
Mas vimos que 4 <= 2 não é verdadeiro. Portanto, W não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que W não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegue um vetor u = (x, y, z) in W , onde x + y + z <= 2 , e um escalar c in R .
Multiplicando por c :
c cdot u = (c x, c y, c z)
A soma das componentes será:
c x + c y + c z = c (x + y + z) <= c cdot 2
Dependendo do valor de c :
  • Se c > 1 , pode tornar c (x + y + z) > 2 , fazendo com que c cdot u não esteja em W .
  • Se c < 0 , a desigualdade também pode não ser mantida.
Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço vetorial de V .

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