Em cada ítem deste exercício são dados um espaço vetorial
e um conjunto
de
. Verifique se
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se
atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
-
não está vazio (ou seja, contém o vetor zero). -
é fechado sob adição de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se
não está vazio:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Então,
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, onde:
Vamos somar esses vetores:
A soma das componentes será:
Para
pertencer a
, precisamos que:
Mas vimos que
não é verdadeiro. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que
não é fechado sob adição, vamos verificar a multiplicação por escalar para completar a análise.
Pegue um vetor
, onde
, e um escalar
.
Multiplicando por
:
A soma das componentes será:
Dependendo do valor de
:
- Se
, pode tornar , fazendo com que não esteja em . - Se
, a desigualdade também pode não ser mantida.
Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
.