Mostre que os seguintes conjuntos de R^5 são subespaços vetoriais de R^5:
W=(x, y, z, t, r) in R^5 ; x-y-r=0

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z,t,r)inR^5 mid x - y - r = 0
e pede para mostrar que W é subespaço vetorial de R^5.
Para isso vamos verificar que
  1. o vetor zero está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero
(0,0,0,0,0) em R^5 satisfaz
0 - 0 - 0 = 0,
logo (0,0,0,0,0)in W.
Agora, tomemos dois vetores (x,y,z,t,r) e (x',y',z',t',r') em W.
Pela definição de W,
x - y - r = 0, x' - y' - r' = 0
Somando coordenada a coordenada, o vetor
(x+x',,y+y',,z+z',,t+t',,r+r') tem
(x+x') - (y+y') - (r+r') = (x - y - r) + (x' - y' - r') = 0 + 0 = 0,
portanto a soma está em W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 3

Tomemos um escalar lambdainR e um vetor (x,y,z,t,r)in W.
Como x - y - r = 0, o vetor
(lambda x,lambda y,lambda z,lambda t,lambda r) satisfaz
lambda x - lambda y - lambda r = lambda,(x - y - r) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda(x,y,z,t,r)in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Como mostramos que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^5.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^5.

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