Mostre que os seguintes conjuntos de
são subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que é subespaço vetorial de
.
Para isso vamos verificar que
e pede para mostrar que
Para isso vamos verificar que
- o vetor zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
em
satisfaz
logo
.
Agora, tomemos dois vetores e
em
.
Pela definição de ,
Agora, tomemos dois vetores
Pela definição de
Somando coordenada a coordenada, o vetor
tem
portanto a soma está em
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 3
Tomemos um escalar
e um vetor
.
Como , o vetor
satisfaz
Como
logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Como mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.