Mostre que os seguintes conjuntos de R^5 são subespaços vetoriais de R^5:
W=(x, y, z, t, r) in R^5 ; x=y=t, z=2 t, r=0

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z,t,r)inR^5 mid x=y=t,;z=2t,;r=0
Queremos mostrar que W é subespaço de R^5. Para isso vamos (i) exibir uma parametrização de todo vetor de W, (ii) verificar que o vetor zero pertence a W e (iii) checar fechamento em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Das condições x=y=t, z=2t e r=0 segue que todo vetor de W tem a forma
(x,y,z,t,r)=(t,t,2t,t,0),
com tinR. Se definirmos
v0=(1,1,2,1,0),
então
W=,t,v0mid tinR

Passo 3

Vetor zero: tomando t=0 obtemos
0cdot v0=0=(0,0,0,0,0)in W

Passo 4

Fechamento em soma e escalar: sejam u=t1v0 e w=t2v0 vetores em W, e lambdainR. Então
u+w=t1v0+t2v0=(t1+t2)v0in W
e
lambda,u=lambda,(t1v0)=(lambda t1)v0in W

Passo 5

Como W contém o vetor zero e é fechado em soma e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^5. Além disso,
W=Spanv0
é de dimensão 1, com base ,(1,1,2,1,0).

Resposta

W é subespaço vetorial de R^5, pois
W=Span(1,1,2,1,0)

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