Encontrar uma equação geral para o plano que passa por A(4,-1,2) e é paralelo ao plano xOz . (valor: 2,0 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto A(4,-1,2) e é paralelo ao plano xOz. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao plano xOz. O plano xOz é aquele onde y = 0. Então, qualquer plano paralelo a ele vai ter a mesma orientação, ou seja, a variável y vai ter um coeficiente zero na equação geral.

Passo 3

A equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Como nosso plano é paralelo ao xOz, sabemos que B = 0. Assim, a equação fica:
Ax + Cz + D = 0

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto A(4,-1,2) que está no plano para encontrar os valores de A, C e D. Substituindo as coordenadas de A na equação:
A cdot 4 + C cdot 2 + D = 0
Que simplifica para:
4A + 2C + D = 0

Passo 5

Para determinar uma única equação, precisamos de mais uma condição. Como o plano é paralelo ao xOz, a normal a este plano é perpendicular ao vetor diretor do plano xOz. O vetor normal do plano xOz é (0,1,0), então o vetor normal do nosso plano também será (0,1,0). Isso nos dá B = 1, o que já sabíamos que B = 0, então há uma confusão. Vamos corrigir:
Na verdade, se o plano é paralelo a xOz, ele terá a mesma orientação, então o vetor normal será o mesmo, ou seja, (0,1,0). Portanto, a equação do plano será:
0x + 1y + 0z + D = 0 Rightarrow y + D = 0

Passo 6

Agora, usamos o ponto A(4,-1,2) para encontrar D. Substituindo y = -1:
-1 + D = 0 Rightarrow D = 1

Passo 7

Então, a equação do plano fica:
y + 1 = 0
Ou, de forma geral:
y = -1

Resposta

A equação geral do plano é y = -1.

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