Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
( \mathbb{Z},- ) onde - é a subtração usual;

Passo 1

Resumindo, queremos verificar se o sistema (\mathbb{Z},-), isto é, o conjunto dos inteiros com a operação de subtração usual, satisfaz os quatro axiomas de grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento neutro
  4. Existência de inversos

Passo 2

Verificar o axioma de fechamento: para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}, o resultado a - b é também um inteiro. Logo,
\forall a,b\in\mathbb{Z},\;a - b\in\mathbb{Z}.
Portanto, o fechamento é satisfeito.

Passo 3

Verificar o axioma de associatividade: precisamos de
(a - b) - c \overset{?}{=} a - (b - c)\quad\forall a,b,c\in\mathbb{Z}.
Tomando a=1, b=2, c=3, temos
(1 - 2) - 3 = -1 - 3 = -4 \quad\text{e}\quad 1 - (2 - 3) = 1 - (-1) = 2,
como -4 \neq 2, a subtração não é associativa. Logo, o axioma de associatividade falha.

Passo 4

Verificar existência de elemento neutro e: deve satisfazer
a - e = a \quad\text{e}\quad e - a = a \quad\forall a\in\mathbb{Z}.
Da primeira igualdade vem e=0, mas da segunda precisaríamos de 0 - a = a, isto é, a= -a para todo a, o que só ocorre para a=0. Logo, não há um único e que funcione para todos os a. Portanto, não existe elemento neutro bilateral.

Passo 5

Verificar existência de inversos: em grupos, para cada a deve existir b tal que
a - b = e \quad\text{e}\quad b - a = e,
onde e seria o neutro. Mas como não há elemento neutro em (\mathbb{Z},-), não faz sentido falar em inversos de forma consistente. Logo, esse axioma também falha.

Resposta

O único axioma satisfeito em (\mathbb{Z},-) é o de fechamento; os axiomas de associatividade, de identidade e de inverso não são satisfeitos. Portanto, (\mathbb{Z},-) não é um grupo.

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