Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
(
) onde - é a subtração usual;
(
Passo 1
Resumindo, queremos verificar se o sistema
, isto é, o conjunto dos inteiros com a operação de subtração usual, satisfaz os quatro axiomas de grupo:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento neutro
- Existência de inversos
Passo 2
Verificar o axioma de fechamento: para quaisquer
, o resultado
é também um inteiro. Logo,
Portanto, o fechamento é satisfeito.
Passo 3
Verificar o axioma de associatividade: precisamos de
Tomando
,
,
, temos
como
, a subtração não é associativa. Logo, o axioma de associatividade falha.
Passo 4
Verificar existência de elemento neutro
: deve satisfazer
Da primeira igualdade vem
, mas da segunda precisaríamos de
, isto é,
para todo
, o que só ocorre para
. Logo, não há um único
que funcione para todos os
. Portanto, não existe elemento neutro bilateral.
Passo 5
Verificar existência de inversos: em grupos, para cada
deve existir
tal que
onde
seria o neutro. Mas como não há elemento neutro em
, não faz sentido falar em inversos de forma consistente. Logo, esse axioma também falha.
Resposta
O único axioma satisfeito em
é o de fechamento; os axiomas de associatividade, de identidade e de inverso não são satisfeitos. Portanto,
não é um grupo.