Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
Seja
o conjunto dos números inteiros positivos e considere
, a multiplicação usual;
Seja
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto dos inteiros positivos
com a operação de multiplicação usual
. Queremos verificar os quatro axiomas de grupo:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento neutro
- Existência de inversos
Passo 2
Verificamos o fechamento: se
, então
é também um inteiro positivo. Logo, a multiplicação não leva nunca fora de
. Portanto, o axiomade fechamento está satisfeito.
Passo 3
Verificamos a associatividade: a multiplicação de inteiros é conhecida por ser associativa, isto é, para quaisquer
vale
Logo, o axiomade associatividade está satisfeito.
Passo 4
Verificamos a existência do elemento neutro: o número
satisfaz para todo
e
. Portanto, o axiomade existência de neutro está satisfeito.
Passo 5
Verificamos a existência de inversos: para cada
precisamos de um
tal que
Isso implica
. Mas
só é inteiro positivo se
. Assim, elementos como
não têm inverso em
. Logo, o axiomade inversos não está satisfeito.
Resposta
Os axiomas de fechamento, associatividade e neutro são satisfeitos, mas o de inversos não. Portanto
NÃO é um grupo.