Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
Seja G o conjunto dos números inteiros positivos e considere (G, \cdot), a multiplicação usual;

Passo 1

O enunciado define G como o conjunto dos inteiros positivos \mathbb{Z}^+ com a operação de multiplicação usual \cdot. Queremos verificar os quatro axiomas de grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento neutro
  4. Existência de inversos

Passo 2

Verificamos o fechamento: se a,b\in \mathbb{Z}^+, então
a \cdot b
é também um inteiro positivo. Logo, a multiplicação não leva nunca fora de G. Portanto, o axiomade fechamento está satisfeito.

Passo 3

Verificamos a associatividade: a multiplicação de inteiros é conhecida por ser associativa, isto é, para quaisquer a,b,c\in \mathbb{Z}^+ vale
(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c).
Logo, o axiomade associatividade está satisfeito.

Passo 4

Verificamos a existência do elemento neutro: o número 1 satisfaz para todo a\in \mathbb{Z}^+
1 \cdot a = a \quad\text{e}\quad a \cdot 1 = a,
e 1\in \mathbb{Z}^+. Portanto, o axiomade existência de neutro está satisfeito.

Passo 5

Verificamos a existência de inversos: para cada a\in \mathbb{Z}^+ precisamos de um b\in \mathbb{Z}^+ tal que
a \cdot b = 1.
Isso implica b = 1/a. Mas 1/a só é inteiro positivo se a=1. Assim, elementos como 2,3,\dots não têm inverso em G. Logo, o axiomade inversos não está satisfeito.

Resposta

Os axiomas de fechamento, associatividade e neutro são satisfeitos, mas o de inversos não. Portanto (\mathbb{Z}^+,\cdot) NÃO é um grupo.

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