Exercício 17 Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de \mathbb{R}^{3} ?
C=\{(x, y, z) \mid z \geq 0\}

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
C = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z \ge 0\}
é subespaço de \mathbb{R}^3. Em Álgebra Linear, um subconjunto W de \mathbb{R}^n é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. W\neq\emptyset.
  2. Fechamento sob soma.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o item 1. O vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) tem terceira coordenada igual a 0, que satisfaz 0\ge0. Logo \mathbf{0}\in C e C\neq\emptyset.

Passo 3

Agora o fechamento sob soma. Sejam (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em C, isto é, z_1\ge0 e z_2\ge0. Então
(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
e como z_1+z_2\ge0, a soma permanece em C.

Passo 4

Falta o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in C com z>0. Então
\alpha\,(x,y,z) = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z).
Se \alpha<0, fica \alpha z<0, o que tira (\alpha x,\alpha y,\alpha z) de C. Portanto não há fechamento sob escalares.

Resposta

C não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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