Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
Seja G o conjunto dos racionais com denominadores impares e considere (G,+), a adição usual.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = \bigl\{\tfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}\mid b\text{ é ímpar e a fração está em forma irredutível}\bigr\}éíçãáí
e a operação é a adição usual. Vamos verificar os axiomas de grupo: (1) fechamento, (2) associatividade, (3) identidade e (4) inversos. Como bônus, observamos que a adição em \mathbb{Q} é comutativa.

Passo 2

Verificar fechamento: tomemos \tfrac{a}{b} e \tfrac{c}{d} em G, com b e d ímpares. Então
\tfrac{a}{b} + \tfrac{c}{d} = \tfrac{ad + bc}{bd}.
Como b e d são ímpares, bd também é ímpar. Se simplificarmos a fração, seu denominador será um divisor de bd, logo continua ímpar. Portanto o resultado está em G, e o fechamento vale.

Passo 3

Verificar associatividade: a adição em \mathbb{Q} satisfaz
\bigl(x + y\bigr) + z = x + \bigl(y + z\bigr)
para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Q}. Como G\subset\mathbb{Q} e a operação é a mesma, a associatividade é herdada, ou seja, vale em G.

Passo 4

Verificar existência de identidade: o elemento neutro da adição em \mathbb{Q} é 0, que podemos escrever como
0 = \tfrac{0}{1},
e 1 é ímpar. Logo 0\in G e para todo x\in G temos x + 0 = x = 0 + x. A identidade está em G.

Passo 5

Verificar existência de inversos: dado x = \tfrac{a}{b}\in G, seu inverso aditivo é
-x = \tfrac{-a}{b}.
O denominador continua sendo b, que é ímpar, então -x\in G e x + (-x)=0. Assim todo elemento de G tem inverso em G.

Passo 6

Observação de comutatividade: para quaisquer x,y\in G vale
x + y = y + x
porque a adição em \mathbb{Q} é comutativa. Logo (G,+) é um grupo abeliano.

Resposta

Todos os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) estão satisfeitos em (G,+). Portanto (G,+) é um grupo (na verdade um grupo abeliano).

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