Em cada item determinar quais axiomas da definição de grupos são satisfeitos e quais não são. Conclua determinando quais sistemas são grupos.
Seja
o conjunto dos racionais com denominadores impares e considere
, a adição usual.
Seja
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e a operação é a adição usual. Vamos verificar os axiomas de grupo: (1) fechamento, (2) associatividade, (3) identidade e (4) inversos. Como bônus, observamos que a adição em
é comutativa.
Passo 2
Verificar fechamento: tomemos
e
em
, com
e
ímpares. Então
Como
e
são ímpares,
também é ímpar. Se simplificarmos a fração, seu denominador será um divisor de
, logo continua ímpar. Portanto o resultado está em
, e o fechamento vale.
Passo 3
Verificar associatividade: a adição em
satisfaz
para quaisquer
. Como
e a operação é a mesma, a associatividade é herdada, ou seja, vale em
.
Passo 4
Verificar existência de identidade: o elemento neutro da adição em
é
, que podemos escrever como
e
é ímpar. Logo
e para todo
temos
. A identidade está em
.
Passo 5
Verificar existência de inversos: dado
, seu inverso aditivo é
O denominador continua sendo
, que é ímpar, então
e
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 6
Observação de comutatividade: para quaisquer
vale
porque a adição em
é comutativa. Logo
é um grupo abeliano.
Resposta
Todos os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, identidade e inversos) estão satisfeitos em
. Portanto
é um grupo (na verdade um grupo abeliano).