Seja a base \mathrm{B}=\{(1,1),(1,-1)\} de R^{2}. O vetor v possui coordenadas [v]_{B}=(3,1). Qual é o vetor v na base canônica?
a. (2,4)
b. (4,2)
c. (5,2)
d. (3,1)
e. (1,3)

Passo 1

O enunciado dá a base \mathrm{B}=\{(1,1),(1,-1)\} de \mathbb{R}^2 e pede o vetor v na base canônica sabendo que suas coordenadas em \mathrm{B} são [v]_{B}=(3,1). O conteúdo aqui é mudança de base: dadas as coordenadas de um vetor em uma base qualquer, queremos expressá-lo na base canônica.

Passo 2

Se \mathrm{B}=\{b_1,b_2\} e [v]_{B}=(c_1,c_2), então
v = c_1\,b_1 + c_2\,b_2.

Passo 3

Aqui b_1=(1,1), b_2=(1,-1), c_1=3 e c_2=1. Logo,
3\,b_1 = 3\,(1,1) = (3,3), \quad 1\,b_2 = 1\,(1,-1) = (1,-1).

Passo 4

Somando os resultados:
v = (3,3) + (1,-1) = (4,2).

Resposta

b. (4,2)

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