Em S_{3} dar exemplo de dois elementos x e y tais que (x \circ y)^{2} \neq x^{2} \circ y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede encontrar em S_{3} dois elementos x e y tais que
(x\circ y)^{2}\neq x^{2}\circ y^{2}. O conteúdo aqui é a estrutura de grupo e a não comutatividade de S_{3}.

Passo 2

Em qualquer grupo não abeliano, a falta de comutatividade pode levar a
(x\circ y)^{2}\neq x^{2}\circ y^{2}. Em S_{3}, transposições têm ordem 2, ou seja, se \tau é transposição então \tau^{2}=e, onde e é a identidade.

Passo 3

Escolhemos
x = (1\,2)
e
y = (2\,3)
onde cada transposição satisfaz
\;x^{2}=e e \;y^{2}=e.

Passo 4

Calculamos
x\circ y = (1\,2)\circ(2\,3) = (1\,2\,3)

Passo 5

Logo,
(x\circ y)^{2} = (1\,2\,3)^{2} = (1\,3\,2)
que não é a identidade.

Passo 6

Por outro lado,
x^{2}\circ y^{2} = e\circ e = e

Passo 7

Comparando,
(x\circ y)^{2} = (1\,3\,2)\neq e = x^{2}\circ y^{2},
o que mostra o resultado desejado.

Resposta

Podemos tomar x=(1\,2) e y=(2\,3).

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