Questão 1: Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jordan, escreva a solução e classifique o sistema.
\left\{\begin{array}{c} x+y+z=6 \\\ x-2 y+z=3 \\\\ 2 x-y+z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\ x - 2y + z = 3,\\\\ 2x - y + z = 7 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida e daí ler a solução e classificar o sistema.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 1 & -2 & 1 & 3\\\\ 2 & -1 & 1 & 7 \end{array}\right].
O primeiro pivô é o elemento da posição (1,1), que já vale 1. Vamos zerar abaixo dele.

Passo 3

Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_1,
o que produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & 0 & -3\\\\ 0 & -3 & -1 & -5 \end{array}\right].

Passo 4

Agora o pivô de segunda linha é o elemento -3 na posição (2,2). Dividimos a linha 2 por -3 e usamos o novo pivô para zerar acima e abaixo:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -3 & -1 & -5 \end{array}\right],
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 + 3\,R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\right].

Passo 5

O pivô da terceira linha é -1 na posição (3,3). Multiplicamos a linha 3 por -1 e zeramos acima:
R_3 \leftarrow -\,R_3 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right],
R_1 \leftarrow R_1 - R_3 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 6

Chegamos à forma reduzida, de onde lemos diretamente as soluções:
x = 3,\quad y = 1,\quad z = 2.

Passo 7

Como obtivemos valores únicos para x, y e z sem contradições, o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).

Resposta

x=3,\;y=1,\;z=2.
O sistema é compatível determinado.

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