Em cada item, determine o ângulo entre os vetores.
(b) u = (-1, 2, 1) e v = (2, -4, -2).

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício de geometria vetorial onde temos que encontrar o ângulo entre dois vetores. Os vetores que vamos trabalhar são u = (-1, 2, 1) e v = (2, -4, -2). Para isso, vamos precisar usar o produto escalar e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e v. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores u e v. A norma de um vetor é dada por:
Então, para u:
E para v:

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo theta entre eles:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de -1:

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de .

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