Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integraly-1^2-2 y f(x, y) d x] d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do conteúdo de Integrais Duplas em Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites de integração estão definidos e ajustar eles para inverter a ordem das integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original: . Aqui, a variável varia de 0 a 1, e para cada valor de , a variável varia de a .

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração no plano . As fronteiras de são e . Precisamos encontrar como expressar essa região agora com variando primeiro e depois.

Passo 4

Para inverter a ordem, identificamos os limites de . Observando as equações das retas:
  • pode ser reescrita como .
  • pode ser reescrita como .
Agora, vamos determinar os valores mínimos e máximos de . Quando :
  • ,
  • .
Então, varia de a .

Passo 5

Para cada entre e , precisamos encontrar os limites de . Vemos que:
  • A parte inferior é dada por ,
  • A parte superior é dada por .

Passo 6

Agora podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Ficará assim:
integral-1^2 [ integral2 - x2^x + 1 f(x, y) , dy ] dx

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral-1^2 integral2 - x2^x + 1 f(x, y) , dy , dx

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