Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do conteúdo de Integrais Duplas em Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar entender como os limites de integração estão definidos e ajustar eles para inverter a ordem das integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
. Aqui, a variável
varia de 0 a 1, e para cada valor de
, a variável
varia de
a
.
Passo 3
Vamos visualizar a região de integração no plano
. As fronteiras de
são
e
. Precisamos encontrar como expressar essa região agora com
variando primeiro e
depois.
Passo 4
Para inverter a ordem, identificamos os limites de
. Observando as equações das retas:
-
pode ser reescrita como . -
pode ser reescrita como .
Agora, vamos determinar os valores mínimos e máximos de
. Quando
:
-
, -
.
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Para cada
entre
e
, precisamos encontrar os limites de
. Vemos que:
- A parte inferior é dada por
, - A parte superior é dada por
.
Passo 6
Agora podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Ficará assim:
Resposta
A ordem de integração invertida é: