(3 pontos) Verifique se as integrais são convergentes ou divergentes.
Sugestão: No item b), usar um teste de convergência.
Sugestão: No item b), usar um teste de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a integral
é convergente ou divergente. Estamos lidando com cálculo de integrais impróprias, especificamente analisando o comportamento da função quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da raiz e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para entender melhor como ela se comporta quando
é bem grande. Observando o numerador
e o denominador
, percebemos que, para
grande, os termos de maior grau dominam. Então, podemos aproximar:
Passo 3
Agora, nossa integral se aproxima de
. Sabemos que
é uma função que diminui rapidamente à medida que
aumenta.
Passo 4
Vamos usar o Teste de Comparação para determinar a convergência. Sabemos que se
para todo
no intervalo considerado, e se
converge, então
também converge.
Aqui,
e
. Como vimos que
para
grande e
para
, podemos aplicar o teste.
Passo 5
Calculando a integral de comparação:
Como essa integral converge, pelo Teste de Comparação, nossa integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente.