(3 pontos) Verifique se as integrais são convergentes ou divergentes. integral1^infty raizx^2+2x^6+3 x
Sugestão: No item b), usar um teste de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a integral é convergente ou divergente. Estamos lidando com cálculo de integrais impróprias, especificamente analisando o comportamento da função quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a expressão dentro da raiz e aplicar um teste de convergência adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para entender melhor como ela se comporta quando x^2+2x^6+3 x approx x^2x^6 = 1x^4 é bem grande. Observando o numerador e o denominador , percebemos que, para grande, os termos de maior grau dominam. Então, podemos aproximar:

Passo 3

Agora, nossa integral se aproxima de . Sabemos que é uma função que diminui rapidamente à medida que aumenta.

Passo 4

Vamos usar o Teste de Comparação para determinar a convergência. Sabemos que se para todo no intervalo considerado, e se converge, então também converge.
Aqui, e . Como vimos que para grande e para , podemos aplicar o teste.

Passo 5

Calculando a integral de comparação:
integral1^infty 1x^2 , dx = [ -1x ]1^infty = 0 - (-1) = 1
Como essa integral converge, pelo Teste de Comparação, nossa integral original também converge.

Resposta

A integral é convergente.

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