Calcule o centro de massa. e a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa da região definida por e . Esse problema está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas para calcular o centro de massa. Vamos precisar entender como calcular as coordenadas do centro de massa usando integrais com a densidade que é proporcional à distância do ponto ao eixo , ou seja, à coordenada .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a densidade da região. Como a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo , podemos escrever , onde é uma constante de proporcionalidade que, para simplificar os cálculos, podemos considerar .
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular e usando as seguintes fórmulas:
onde é a massa total da região, dada por:
Passo 4
Observamos que a região é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que para cada ponto em , o ponto também está em . Devido a essa simetria, o valor de será zero, pois as contribuições positivas e negativas de se cancelam.
Passo 5
Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos encontrar a massa total :
Para isso, vamos transformar a região para uma forma mais simples. A equação representa uma elipse com semi-eixos e . Podemos fazer uma mudança de variável para e , de forma que a elipse se transforme em um círculo unitário.
Passo 6
Com a mudança de variável e , o elemento de área se transforma conforme o determinante da matriz jacobiana:
A nova região no espaço é dada por e .
Passo 7
Agora, expressamos a massa na nova coordenada:
Aqui, substituímos e .
Passo 8
Para calcular a integral, usamos coordenadas polares no sistema . Substituindo e , com de 0 a 1 e de 0 a (já que ).
A massa fica:
Passo 9
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 10
Agora, calculamos a integral para :
Usando as mesmas mudanças de variável:
Passo 11
Novamente, usamos coordenadas polares:
Passo 12
Calculando a integral interna:
Então:
Resposta
O centro de massa da região está nas coordenadas .