Resolva os PVIs: y' + 3 t^2 y = e^(-t^3 + t), y(0) = 2

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Esse é um tipo de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação diferencial padrão:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral de :
Podemos ignorar a constante de integração ao encontrar o fator integrante. Então,

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

A equação agora fica:
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do PVI é:

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