Resolva os PVIs:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
Esse é um tipo de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação diferencial padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral de
:
Podemos ignorar a constante de integração
ao encontrar o fator integrante. Então,
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
A equação agora fica:
Perceba que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do PVI é: