Em cada item, determine o ângulo entre os vetores.
© u = (2, -1, -1) e v = (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores e . A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, especialmente a fórmula do produto escalar, que relaciona dois vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. O produto escalar entre dois vetores e é calculado assim:
Isso significa que a gente multiplica cada componente dos vetores e depois soma tudo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores e :
Legal, o produto escalar deu zero.

Passo 4

Agora, vamos precisar das magnitudes (ou módulos) dos vetores. A magnitude de um vetor é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 5

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, usamos a fórmula que relaciona tudo isso com o ângulo entre os vetores:
Queremos encontrar , então isolamos :

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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