Calcule a ârea da região limitada por:
Passo 1
Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas. Precisaremos descobrir onde as curvas se cruzam e entender qual delas está acima da outra em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Podemos fatorar
:
Agora, resolvemos
:
Isso nos dá
e
. Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
-
Entre
e :
Vamos testar: Aqui,está acima de . -
Entre
e :
Vamos testar: Aqui,está acima de .
Passo 4
Com base nisso, vamos montar as integrais para cada intervalo:
-
De
a :
A função de cima ée a de baixo é . A área é: -
De
a :
A função de cima ée a de baixo é . A área é:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
-
Primeira Integral:Avaliando de -1 a 0:
-
Segunda Integral:Avaliando de 0 a 2:
Resposta
A área total da região delimitada pelas curvas
e
é: