Calcule a ârea da região limitada por:
y = x^3 e y = x^2 + 2x

Passo 1

Vamos calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas. Precisaremos descobrir onde as curvas se cruzam e entender qual delas está acima da outra em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Podemos fatorar :
Agora, resolvemos :
Isso nos dá e . Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção. Vamos escolher pontos de teste em cada intervalo:
  • Entre e :
    Vamos testar :
    Aqui, está acima de .
  • Entre e :
    Vamos testar :
    Aqui, está acima de .

Passo 4

Com base nisso, vamos montar as integrais para cada intervalo:
  • De a :
    A função de cima é e a de baixo é . A área é:
  • De a :
    A função de cima é e a de baixo é . A área é:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
  • Primeira Integral:
    Avaliando de -1 a 0:
  • Segunda Integral:
    Avaliando de 0 a 2:

Resposta

A área total da região delimitada pelas curvas e é:

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