Em cada item, determine o ângulo entre os vetores.
(a) u = (-1, 2, 1) e v = (-2, 4, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores. Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional (3D). Para isso, vamos precisar usar o produto escalar (ou produto interno) e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Vamos calcular isso para os nossos vetores e :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor é:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de 1:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é .

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