Sabendo que
são ortogonais, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de vetores. A gente sabe que vetores ortogonais têm produto interno igual a zero. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que os vetores
e
sejam ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores. Se tivermos dois vetores
e
, o produto interno é dado por:
E se esse produto for zero, os vetores são ortogonais.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Então, o produto interno
é:
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
Então, o produto interno fica:
Passo 5
Como os vetores são ortogonais, o produto interno iguala a zero:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar
.
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
,
:
Então, temos duas soluções:
Resposta
Os valores de
que fazem os vetores
e
serem ortogonais são
ou
.