Sabendo que u = m*i + 5*j - 4*k e v = (m + 1)*i + 2*j + 4*k são ortogonais, determine m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de vetores. A gente sabe que vetores ortogonais têm produto interno igual a zero. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que os vetores e sejam ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto interno é dado por:
E se esse produto for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Então, o produto interno é:

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
Então, o produto interno fica:

Passo 5

Como os vetores são ortogonais, o produto interno iguala a zero:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar .

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , :
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de que fazem os vetores e serem ortogonais são ou .

Exercícios relacionados