Em cada item, determine o ângulo entre os vetores.
(d) u = (-1, 2, 1) e v = (2, 1, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e módulo dos vetores. Precisaremos lembrar da fórmula que relaciona o produto escalar ao cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:

Passo 3

O próximo passo é calcular o produto escalar ( ) dos vetores. O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor é dado por:
Calculando para :
E para :

Passo 5

Com o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre eles:
Substituindo os valores calculados:

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo , aplicamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é aproximadamente .

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