Seja f: R -> R dada por
f(x) = { (1 - raiz(x)) / (x - 1) se x ≠ 1; k se x = 1 }
Determine k para que f seja contínua no ponto x0 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente quando é igual a 1 e quando é diferente de 1. O objetivo é encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quando é diferente de 1:
Queremos saber o que acontece com quando se aproxima de 1, ou seja, vamos calcular o limite de quando tende a 1.

Passo 3

Vamos calcular:
A substituição direta de resulta em , que é uma forma indeterminada. Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 5

Simplificando o numerador usando a identidade :

Passo 6

Agora, observe que , então podemos reescrever:

Passo 7

Com isso, o limite simplifica para:

Passo 8

Para que a função seja contínua em , o limite quando tende a 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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