Seja
dada por
Determine
para que f seja contínua no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela tem uma expressão diferente quando
é igual a 1 e quando
é diferente de 1. O objetivo é encontrar o valor de
que faz a função ser contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de limite e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quando
é diferente de 1:
Queremos saber o que acontece com
quando
se aproxima de 1, ou seja, vamos calcular o limite de
quando
tende a 1.
Passo 3
Vamos calcular:
A substituição direta de
resulta em
, que é uma forma indeterminada. Então, precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Para simplificar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é
:
Passo 5
Simplificando o numerador usando a identidade
:
Passo 6
Agora, observe que
, então podemos reescrever:
Passo 7
Com isso, o limite simplifica para:
Passo 8
Para que a função seja contínua em
, o limite quando
tende a 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.