Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico do seguinte paraboloide: z = (x - 1)² + (y - 1)²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar algumas curvas de nível e fazer um esboço do gráfico do paraboloide . Isso envolve geometria analítica e um pouco de cálculo de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com o gráfico tridimensional dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função assume valores constantes. Isso significa que para cada valor fixo de , a equação (sendo uma constante) nos dá uma curva de nível.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para encontrar as curvas de nível, vamos escolher valores específicos para e resolver para e .

Passo 4

Vamos começar com :
A única solução possível é e . Então, a curva de nível para é apenas o ponto .

Passo 5

Agora, vamos para :
Essa equação representa um círculo com centro em e raio .

Passo 6

Vamos escolher mais um valor, digamos :
Aqui, temos outro círculo com o mesmo centro , mas com raio .

Passo 7

Com essas curvas de nível, podemos observar que à medida que aumenta, os círculos ficam maiores, mantendo o mesmo centro. Isso indica que o paraboloide é simétrico em relação ao ponto no plano e se abre para cima.

Resposta

Portanto, o gráfico do paraboloide é uma superfície parabólica que tem seu vértice no ponto e se abre para cima. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano com centro em e raios crescentes conforme aumenta.

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