Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico do seguinte paraboloide:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar algumas curvas de nível e fazer um esboço do gráfico do paraboloide
. Isso envolve geometria analítica e um pouco de cálculo de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com o gráfico tridimensional dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
assume valores constantes. Isso significa que para cada valor fixo de
, a equação
(sendo
uma constante) nos dá uma curva de nível.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Para encontrar as curvas de nível, vamos escolher valores específicos para
e resolver para
e
.
Passo 4
Vamos começar com
:
A única solução possível é
e
. Então, a curva de nível para
é apenas o ponto
.
Passo 5
Agora, vamos para
:
Essa equação representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 6
Vamos escolher mais um valor, digamos
:
Aqui, temos outro círculo com o mesmo centro
, mas com raio
.
Passo 7
Com essas curvas de nível, podemos observar que à medida que
aumenta, os círculos ficam maiores, mantendo o mesmo centro. Isso indica que o paraboloide é simétrico em relação ao ponto
no plano
e se abre para cima.
Resposta
Portanto, o gráfico do paraboloide
é uma superfície parabólica que tem seu vértice no ponto
e se abre para cima. As curvas de nível são círculos concêntricos no plano
com centro em
e raios crescentes conforme
aumenta.