Para cada uma das seguintes matrizes, determine o polinômio característico, os autovalores e autovetores.
(b) A=(rrr3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 5)

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 3 & -2 & 0 -2 & 3 & 0 0 & 0 & 5
determinar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores. Vamos usar a definição
p(lambda)=det(lambda I - A)
e depois resolver p(lambda)=0.

Passo 2

Calculamos o determinante de lambda I - A. Como A é bloco-diagonal,
lambda I - A = lambda-3 & 2 & 0 2 & lambda-3& 0 0 & 0 & lambda-5
logo
p(lambda) =det lambda-3 & 2 2 & lambda-3 cdot(lambda-5) =((lambda-3)^2-4),(lambda-5)

Passo 3

Fatorando o primeiro termo,
(lambda-3)^2-4=(lambda-3-2)(lambda-3+2)=(lambda-5)(lambda-1),
portanto
p(lambda)=(lambda-1)(lambda-5)^2
Assim os autovalores são
lambda1=1(mu<iplicidade 1), lambda2=5(mu<iplicidade 2)

Passo 4

Para
logo força .
Um autovetor é

Passo 5

Para , resolvemos . Na parte vem
Na terceira coordenada , então é livre.
Dessa forma a eigensubspaço de tem dimensão 2, com base por exemplo em

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=(lambda-1)(lambda-5)^2
Autovalores:
lambda1=1, lambda2=lambda3=5
Autovetores:
lambda=1: v1=(1,1,0)^T; lambda=5: v2=(1,-1,0)^T,;v3=(0,0,1)^T

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