Seja V=R^3 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Verifique se W é um subespaço vetorial de V, nos seguintes casos:
(b) W=(u1, u2, u3) in R^3 ; u2=u1+u3, u3=2 u1+1

Passo 1

O enunciado define
V = R^3
com as operações usuais e
W = (u1,u2,u3)in R^3 mid u2 = u1 + u3,; u3 = 2u1 + 1
Para ser subespaço vetorial, W precisa conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Eliminamos variáveis para ver a forma de W. Da segunda condição vem
u3 = 2u1 + 1
Substituindo em u2 = u1 + u3 obtemos
u2 = u1 + (2u1 + 1) = 3u1 + 1
Logo
W = (u1,;3u1 + 1,;2u1 + 1)mid u1inR,
que é uma reta afim (não necessariamente passando pela origem).

Passo 3

Verificamos se (0,0,0)in W. Se fosse, existiria u1 tal que
(u1,,3u1+1,,2u1+1) = (0,0,0)
Isso implica u1 = 0 e simultaneamente 3u1 + 1 = 0, ou seja 1 = 0, o que é impossível. Então (0,0,0)notin W, falhando a condição básica de subespaço.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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