Em cada item, determine se o conjunto de vetores apresentado gera R^3.
(a) u=(1,1,1), v=(2,2,0) e w=(3,0,0).
(b) u=(1,1,2), v=(1,0,1) e w=(2,1,3).
(c) u=(1,2,-1), v=(1,3,0) e w=(-2,0,0).

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos de três vetores em R^3 e pede para verificar em cada caso se eles geram R^3. Como temos exatamente três vetores, isso ocorre se, e somente se, eles forem linearmente independentes. Um critério prático é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calcular seu determinante: se detneq0, eles são independentes e, portanto, geram R^3.

Passo 2

Item (a): u=(1,1,1), v=(2,2,0), w=(3,0,0).
Montamos a matriz com esses vetores como linhas:
Ma = 1 & 1 & 1 2 & 2 & 0 3 & 0 & 0
Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(Ma) =1cdotdet2 & 00 & 0 -1cdotdet2 & 03 & 0 +1cdotdet2 & 23 & 0 =0-0+(2cdot0-2cdot3) =-6neq0
Como det(Ma)neq0, os vetores são L.I. e geram R^3.

Passo 3

Item (b): u=(1,1,2), v=(1,0,1), w=(2,1,3).
A matriz correspondente é
Mb = 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 3
Novamente, pelo desenvolvimento na primeira linha:
det(Mb) =1cdotdet0 & 11 & 3 -1cdotdet1 & 12 & 3 +2cdotdet1 & 02 & 1 =(0cdot3-1cdot1)-(1cdot3-1cdot2)+2,(1cdot1-0cdot2) =-1-(3-2)+2cdot1 =0
Como det(Mb)=0, os vetores são LI e não geram R^3.

Passo 4

Item (c): u=(1,2,-1), v=(1,3,0), w=(-2,0,0).
Formamos
Mc = 1 & 2 & -1 1 & 3 & 0 -2 & 0 & 0
Determinante pela primeira linha:
det(Mc) =1cdotdet3 & 00 & 0 -2cdotdet1 & 0-2 & 0 +(-1)cdotdet1 & 3-2 & 0 =0-2cdot0-1,(1cdot0-3cdot(-2)) =-6neq0
Como det(Mc)neq0, são independentes e geram R^3.

Resposta

(a) Sim, geram R^3.
(b) Não, não geram R^3.
(c) Sim, geram R^3.

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