Seja
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Verifique se
é um subespaço vetorial de
, nos seguintes casos:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada caso, se
é subespaço vetorial de
. Lembrando que para
ser subespaço precisamos checar três propriedades:
- O vetor zero
pertence a . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: para todo e todo escalar , tem-se .
Passo 2
Caso (a):
.
- O vetor zero é
. Como e , ele satisfaz as condições, logo . - Se
e estão em , então
que satisfaz
e
, logo
.
3. Para escalar ,
3. Para escalar
então também satisfaz as definições, ou seja
.
Portanto, em (a) é subespaço de
.
Portanto, em (a)
Passo 3
Caso (b):
.
Basta notar que o vetor zero não satisfaz
, pois daria
, o que é falso. Logo
e
não pode ser subespaço vetorial.
Basta notar que o vetor zero
Passo 4
Caso (c):
.
- O vetor zero
satisfaz , então está em . - Se
e estão em , então
- Para
,
Logo, em (c)
é subespaço de
.
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) não é subespaço vetorial de
.
(c) é subespaço vetorial de
.
(b)
(c)