Seja V=R^3 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Verifique se W é um subespaço vetorial de V, nos seguintes casos:
(a) W=(u1, u2, u3) in R^3 ; u2=5 u1, u3=u1
(b) W=(u1, u2, u3) in R^3 ; u2=u1+u3, u3=2 u1+1
(c) W=(u1, u2, u3) in R^3 ; u3=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada caso, se WsubseteqR^3 é subespaço vetorial de V=R^3. Lembrando que para W ser subespaço precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero ,(0,0,0) pertence a W.
  2. W é fechado sob adição: se u,vinW então u+vinW.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: para todo uinW e todo escalar k, tem-se k,uinW.

Passo 2

Caso (a):
W=(u1,u2,u3)inR^3;;u2=5u1,;u3=u1.
  1. O vetor zero é (0,0,0). Como 0=5cdot0 e 0=0, ele satisfaz as condições, logo (0,0,0)inW.
  2. Se u=(u1,5u1,u1) e v=(v1,5v1,v1) estão em W, então
u+v=(u1+v1,;5u1+5v1,;u1+v1)=(u1+v1,;5(u1+v1),;u1+v1),
que satisfaz u2+v2=5(u1+v1) e u3+v3=u1+v1, logo u+vinW.
3. Para escalar kinR,
k,u=(k,u1,;kcdot5u1,;k,u1)=(k,u1,;5(k,u1),;k,u1),
então também satisfaz as definições, ou seja k,uinW.
Portanto, em (a) W é subespaço de R^3.

Passo 3

Caso (b):
W=(u1,u2,u3)inR^3;;u2=u1+u3,;u3=2u1+1.
Basta notar que o vetor zero (0,0,0) não satisfaz u3=2u1+1, pois daria 0=2cdot0+1=1, o que é falso. Logo (0,0,0)notinW e W não pode ser subespaço vetorial.

Passo 4

Caso (c):
W=(u1,u2,u3)inR^3;;u3=0.
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=0, então está em W.
  2. Se u=(u1,u2,0) e v=(v1,v2,0) estão em W, então
u+v=(u1+v1,;u2+v2,;0+0)=(u1+v1,;u2+v2,;0)inW
  1. Para kinR,
k,u=(k,u1,;k,u2,;kcdot0)=(k,u1,;k,u2,;0)inW
Logo, em (c) W é subespaço de R^3.

Resposta

(a) W é subespaço vetorial de R^3.
(b) W não é subespaço vetorial de R^3.
(c) W é subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados